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[UE 4] Sabatier | Loi de poisson | annales(Résolue)

Question

...
lizzy
Membre
Pharmacie Montpellier
Bonjour,

L'année dernière sabatier a posé un qcm pour lequel je ne sais pas qu'elle méthode adopter.

On nous dit qu'en france la probabilité d'avoir un garçon est de 0,51. Et on cherche à savoir à partir de qu'elle valeur de n, la probabilité pour que, sur n naissances prises au hasard, le nombre de filles soit supérieur ou égal au nombre de garçons, soit inférieure à 0,02. On appelle X la variable aléatoire nombre de garçons sur n naissances. On suppose que n est grand et on ne fera pas de correction de continuité.

On nous demande si x suit une loi binomiale de paramètre n et 0,51, si x suit une loi de poisson de paramètre 0,51xn. Si on peut faire une approximation par une loi normale. Si n est supérieur ou égal à 103 on est certain que la probabilité voulue est inférieure 0,02. Et enfin si n est supérieur ou égal à 10600 on est certain que la probabilité voulue est inférieur à 0,02.

Merci beaucoup :)
Par lizzy le 09/12/2014 à 18h25 - Avertir les modérateurs Non respect de la charte

Réponse

...
Chloe2
Tuteur simple
Médecine Montpellier
Bonjour!
Alors pour ce QCM on a X la variable aléatoire égale au nombre de garçons sur n naissances.
L'échantillon est donc de taille n; et selon l'énoncé on en déduit que pour X:
- le succès est la naissance d'un garçon
- l'échec est la naissance d'une fille
Donc X va suivre une loi Binomiale de paramètres p=0.51 et n est inconnu.
Ensuite on nous demande la valeur de n minimale pour que la probabilité pour que, sur n naissances prises au hasard, le nombre de filles soit supérieur ou égal au nombre de garçons, soit inférieure à 0,02.
Il faut traduire cette phrase en langage UE4: ça veut dire que sur les n naissances, l'événement "la moitié ou plus ( Soit n/2 naissances ou plus) sont des filles" a une probabilité de 0.02. Ou encore sur les n naissances, la moitié ou moins (n/2 ou moins)sont des garçons, avec une probabilité de 0.02.
Au final ça nous donne:
P( X≤ n/2 ) ≤ 0.02

Ensuite dans l'énoncé on nous dit que n est grand, ce qui suppose que n>30 np>5 nq>5 -> on va pouvoir approximer par une loi Normale N(np, V(npq)) donc N(0.51n, V(0.51x0.49xn))
On centre et on réduit:
P( X ≤ n/2 ) ≤ 0.02
p (U ≤ ( n/2 - 0.51n)/V(0.51x0.49xn) ) ≤ 0.02
Dans la table de la loi normale on cherche le 0.02 et on trouve que π(2.05)=0.02 ( plus précisement 0.0202, mais ici on choisit la valeur la plus proche de 0.02 qu'on trouve dans la table, donc 0.0202)
p (U ≤ ( n/2 - 0.51n)/V(0.51x0.49xn) ) ≤ π(2.05)

Il faut résoudre :
n/2 - 0.51n)/V(0.51x0.49xn) ≤ 2.05

1ere méthode: Résoudre l'équation est trouvé n ≥ 10600.
2ème méthode, + rapide le jour J: tu calcules "n/2 - 0.51n)/V(0.51x0.49xn)" pour chaque valeur de n qu'on te propose, donc ici 103 et 10600 et tu gardes seulement celle qui est égal (ou très très très proche) de 2.05.
Pour 103 on trouve 103/2 - 0.51x103)/V(0.51x0.49x103)=0.203 -> FAUX POUR 103.
Pour 10600 on trouve environ 2.05 -> VRAI POUR 10600.


Par Chloe2 le 09/12/2014 à 20h05 - Avertir les modérateurs Non respect de la charte

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